Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓C：(a＞b＞0)的短軸長為2，F1，F2分別是橢圓C的左、右焦點，過點F2的動直線與橢圓交于點P，Q，過點F2與PQ垂直的直線與橢圓C交于A、B兩點.當直線AB過原點時，PF1＝3PF2.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若點H(3，0)，記直線PH，QH，AH，BH的斜率依次為，，，.

①若，求直線PQ的斜率；

②求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）①或②

【解析】

（1）已知條件有，直線AB過原點時，PQx軸，所以△PF1F2為直角三角形，利用橢圓定義和勾股定理可求得，得橢圓方程；

（2）①設直線PQ：，代入到橢圓方程得后化簡，設P(，)，Q(，)，應用韋達定理得，，計算并代入可得；

②分類討論，當這兩條直線中有一條與坐標軸垂直時，，

當兩條直線與坐標軸都不垂直時，由①知，同理可得，計算后應用基本不等式可得最小值．

解：（1）因為橢圓C：(a＞b＞0)的短軸長為2，所以b＝1，

當直線AB過原點時，PQx軸，所以△PF1F2為直角三角形，

由定義知PF1＋PF2＝2a，而PF1＝3PF2，故，，

由得，化簡得a2＝2，

故橢圓的方程為.

（2）①設直線PQ：，代入到橢圓方程得：，設P(，)，Q(，)，則，，

所以

所以，

解得：或，即為直線PQ的斜率.

②當這兩條直線中有一條與坐標軸垂直時，，

當兩條直線與坐標軸都不垂直時，

由①知，同理可得

故

，

當且僅當即k＝1時取等號.

綜上，的最小值為.