Question

（2010•臺州一模）某電子科技公司遇到一個技術性難題，決定成立甲、乙兩個攻關小組，按要求各自獨立進行為期一個月的技術攻關，同時決定對攻關限期內攻克技術難題的小組給予獎勵．已知此技術難題在攻關期限內被甲小組攻克的概率為

2

3

，被乙小組攻克的概率為

3

4

．
（1）設ξ為攻關期滿時獲獎的攻關小組數，求ξ的分布列及數學期望Eξ；
（2）設η為攻關期滿時獲獎的攻關小組數與沒有獲獎的攻關小組數之差的平方，記“函數f(x)=|η-

1

2

|x在定義域內單調遞增”為事件C，求事件C發生的概率．

Answer 1

分析：（1）由題意，ξ的所有可能取值為0，1，2，分別求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），由此能求出ξ的分布列和數學期望Eξ．
（2）因為獲獎攻關小組數的可能取值為0，1，2，相對應的沒有獲獎攻關小組數的取值為2，1，0．所以η的可能取值為0，4．由P（C）=P（η=4）=P（ξ=0）+P（ξ=2），能求出事件C發生的概率．

解答：解：（1）由題意，ξ的所有可能取值為0，1，2．
P（ξ=0）=P（

.

A

•

.

B

）=（1-

2

3

）（1-

3

4

）=

1

12

，
P（ξ=1）=P（

.

A

•B）+P（A•

.

B

）=（1-

2

3

）•

3

4

-

2

3

•（1-

3

4

）=

5

12

，
P（ξ=2）=P（A•B）=

2

3

•

3

4

=

1

2

，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	1 12	5 12	1 2

Eξ=

1

12

×0+

5

12

×1+

1

2

×2=

17

12

．
（2）因為獲獎攻關小組數的可能取值為0，1，2，
相對應的沒有獲獎攻關小組數的取值為2，1，0．所以η的可能取值為0，4．
當η=0時，函數f(x)=|η-

1

2

|x在定義域內單調遞減；
當η=4時，函數f(x)=|η-

1

2

|x在定義域內單調遞增；
所以，P（C）=P（η=4）=P（ξ=0）+P（ξ=2）=

1

12

+

1

2

=

7

12

．

點評：本題考查離散型隨機變量的概率分布列和數學期望的求法，是中檔題，是歷年高考的必考題型．解題時要認真審題，注意排列組合和概率知識的靈活運用．