Question

在直角坐標(biāo)系上取兩個(gè)定點(diǎn)，再取兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)且．
（I）求直線與交點(diǎn)的軌跡的方程；
（II）已知，設(shè)直線：與（I）中的軌跡交于、兩點(diǎn)，直線、 的傾斜角分別為且，求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

（I）；（II）定點(diǎn)為．

解析試題分析：（I）已知條件是，因此我們可以設(shè)直線與交點(diǎn)的坐標(biāo)為，把與建立起聯(lián)系，利用已知得到交點(diǎn)的軌跡方程，而這個(gè)聯(lián)系就是直線與的方程；（II）要證明直線過(guò)定點(diǎn)，應(yīng)該求出的關(guān)系，而已知的是直線、 的傾斜角且，說(shuō)明它們的斜率之和為0，設(shè)直線與軌跡的交點(diǎn)為，則，，那么，變形得，這里，可由直線與軌跡的方程聯(lián)立，消去得關(guān)于的二次方程，由韋達(dá)定理得到，，代入上式可得到結(jié)論．
試題解析：（I）依題意知直線的方程為：　　①，
直線的方程為：　　②，
設(shè)是直線與的交點(diǎn)，①×②得，
由　整理得，
∵不與原點(diǎn)為重合，∴點(diǎn)不在軌跡M上，
∴軌跡M的方程為．
（II）由題意知，直線的斜率存在且不為零，
聯(lián)立方程，得，設(shè)、則，且，，
由已知，得，∴，
化簡(jiǎn)得，
代入得，整理得．
∴直線的方程為，因此直線過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為．
考點(diǎn)：（I）動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)移法求軌跡方程；（II）直線和橢圓相交問(wèn)題．