Question

給出下列四個命題：
①△ABC中，A＞B是sinA＞sinB成立的充要條件；
②當x＞0且x≠1時，有lnx+

1

lnx

≥2；
③已知S_n是等差數列{a_n}的前n項和，若S₇＞S₅，則S₉＞S₃；
④若函數y=f(x-

3

2

)為R上的奇函數，則函數y=f（x）的圖象一定關于點F(

3

2

，0)成中心對稱．
⑤函數f（x）=cos³x+sin²x-cosx（x∈R）有最大值為2，有最小值為0．
其中所有正確命題的序號為

①，③

．

Answer 1

分析：對于①先證充分性；再證必要性；根據對數函數的圖象和性質及對勾函數的圖象和性質，可以判斷②的真假；
等差數列的前n項和的性質，對③進行判斷，即可判斷③的正誤．利用函數的對稱性判斷④的正誤；將函數y=cos³x+sin²x-cosx轉化為y=cos³x-cos²x-cosx+1，利用基本不等式，求得最大值．判斷正誤．

解答：解：對于①，1°由題意，在△ABC中，“A＞B”，由于A+B＜π，必有B＜π-A
若A，B都是銳角，顯然有“sinA＞sinB”成立，
若A，B之一為銳角，必是B為銳角，此時有π-A不是鈍角，由于A+B＜π，必有B＜π-A≤

π

2

，此時有sin（π-A）=sinA＞sinB
綜上，△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的充分條件
2°研究sinA＞sinB，若A不是銳角，顯然可得出A＞B，若A是銳角，亦可得出A＞B，
綜上在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的必要條件
綜合1°，2°知，在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的充要條件，所以①正確．
對于②當x＞0且x≠1時，有lnx+

1

lnx

≥2或lnx+

1

lnx

≤2，故②錯誤；
對于③，若S_n是等差數列{a_n}的前n項和，若S₇＞S₅，說明若a₄＞a₃，即公差d＞0，則a₅＞a₂，即S₉＞S₃，∴③正確．
對于④，若函數y=f(x-

3

2

)為奇函數，則函數y=f（x）的圖象關于點F(

3

2

，0)成中心對稱，命題是假命題．
對于⑤，：∵y=cos³x+sin²x-cosx
=cos³x-cos²x-cosx+1
=cos²x（cosx-1）+（1-cosx）
=（1-cosx）（1-cos²x）
=（1-cosx）（1-cosx）（1+cosx）
=

1

2

（1-cosx）（1-cosx）（2+2cosx），
∵1-cosx≥0，2+2cosx≥0，
∴（1-cosx）（1-cosx）（2+2cosx）≤（

(1-cosx)+(1-cosx)+(2+2cosx)

3

）3=

64

27

，
當且僅當1-cosx=2+2cosx，即cosx=-

1

3

時取“=”．
∴y=

1

2

（1-cosx）（1-cosx）（2+2cosx）≤

32

27

．
所以⑤不正確．
故答案為：①③．

點評：本題考查三角函數的最值，函數的周期性，充要條件的應用，基本不等式的應用，考查分析問題解決問題的能力．