Question

【題目】如圖所示，四面體ABCD中，已知平面BCD⊥平面ABC，BD⊥DC，BC=6，AB=4 ，∠ABC=30°．
（1）求證：AC⊥BD；
（2）若二面角B﹣AC﹣D為45°，求直線AB與平面ACD所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：△ABC中，由余弦定理得AC2=36+48﹣2× =12，

∴ ，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．

又平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC=BC，AC平面ABC，

∵AC⊥平面BCD．又∵BD平面BCD，

∴AC⊥BD．

（2）解：∵AC⊥平面BCD，CD平面BCD，

∴AC⊥CD．又∵BC⊥AC，

∴∠BCD是平面DAC與平面BAC所成的二面角的平面角，即∠BCD=45°．

∵BD⊥CD，AC⊥BD，CD平面ACD，AC平面ACD，CD∩AC=C，

∴BD⊥平面ACD．

∴∠BAD是AB與平面ACD所成的角．

Rt△ACD中， ，

∴ ．

即求直線AB與平面ACE所成的角的正弦值為 ．

【解析】（1）利用余弦定理計算AC，得出AC⊥BC，再利用面面垂直的性質得出AC⊥平面BCD，從而有AC⊥BD；（2）證明BD⊥平面ACD，于是∠BAD為所求角，先計算BD，在Rt△ABD中計算sin∠BAD．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用空間中直線與直線之間的位置關系和空間角的異面直線所成的角的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．