Question

【題目】如圖，C、D是離心率為的橢圓的左、右頂點，、是該橢圓的左、右焦點， A、B是直線4上兩個動點，連接AD和BD，它們分別與橢圓交于點E、F兩點，且線段EF恰好過橢圓的左焦點. 當時，點E恰為線段AD的中點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）求證：以AB為直徑的圓始終與直線EF相切．

Answer 1

【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）見證明

【解析】

（Ⅰ）由題意可得，結合可求出，進而可求得橢圓的方程；（Ⅱ）設EF的方程為：，E（）、F（），與橢圓聯立，運用韋達定理得，，又設，由三點共線得，，求出中點坐標，求出點M到直線EF的距離，進而證得結果.

（Ⅰ）∵當時，點E恰為線段AD的中點，

∴，又，聯立解得：，，，

∴橢圓的方程為.

（Ⅱ）設EF的方程為：，E（）、F（），

聯立得：

∴，

∴……（*）

又設，由A、E、D三點共線得，同理可得.

，

∴.

設AB中點為M，則M坐標為（）即（ ），

∴點M到直線EF的距離.

故以AB為直徑的圓始終與直線EF相切.