Question

【題目】已知兩點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)與兩點(diǎn)連線的斜率滿足.

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）是曲線與軸正半軸的交點(diǎn)，曲線上是否存在兩點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)說明有幾個(gè)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（）；（Ⅱ）3個(gè)

【解析】試題（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的一般步驟：1．建系——建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系．2．設(shè)點(diǎn)——設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)P（x，y）．3．列式——列出動(dòng)點(diǎn)P所滿足的關(guān)系式．4．代換——依條件式的特點(diǎn)，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為x，y的方程式，并化簡(jiǎn)．5．證明——證明所求方程即為符合條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．

（Ⅱ）由題意可知設(shè)所在直線的方程為，則所在直線的方程為分別聯(lián)立橢圓方程求得弦長(zhǎng)，,再由得解方程即可

試題解析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（）,則,, 2分

依題意,所以,化簡(jiǎn)得, 4分

所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為（）. 5分

注:如果未說明（或注）,扣1分.

（Ⅱ）設(shè)能構(gòu)成等腰直角,其中為,

由題意可知,直角邊,不可能垂直或平行于軸,故可設(shè)所在直線的方程為,

（不妨設(shè)）,則所在直線的方程為7分

聯(lián)立方程,消去整理得,解得,

將代入可得,故點(diǎn)的坐標(biāo)為.

所以, 9分

同理可得,由,得,

所以,整理得,解得或11分

當(dāng)斜率時(shí),斜率；當(dāng)斜率時(shí),斜率；

當(dāng)斜率時(shí),斜率,

綜上所述,符合條件的三角形有個(gè). 14分