Question

函數f(x)=x+

a

x

（a為常數）的圖象過點（2，0），
（Ⅰ）求a的值并判斷f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）函數g（x）=lg[f（x）+2^x-m]在區間[2，3]上有意義，求實數m的取值范圍；
（Ⅲ）討論關于x的方程|f（x）|=t+4x-x²（t為常數）的正根的個數．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先依題意有0=2+

a

2

?a=-4，從而得出函數的解析式：f(x)=x-

4

x

，再根據函數奇偶性的定義：由f（-x）=-f（x）判斷f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）函數g（x）=lg[f（x）+2^x-m]在區間[2，3]上有意義，等價于x-

4

x

+2x-m＞0對x∈[2，3]恒成立，得(x-

4

x

+2x)min＞m，下面研究h(x)=x-

4

x

+2x，x∈[2，3]的單調性即可得出實數m的取值范圍；
（III）設y₁=|f（x）|，y₂=t+4x-x²結合圖象得出結論：①當t＜-4時，正根的個數為0；②當t=-4時，正根的個數為1；③當t＞-4時，正根的個數為2．

解答：解：（Ⅰ）依題意有0=2+

a

2

?a=-4，
此時f(x)=x-

4

x

，其定義域為x|x≠0，由f（-x）=-f（x）即f(x)=x-

4

x

為奇函數；
（Ⅱ）函數g（x）=lg[f（x）+2^x-m]在區間[2，3]上有意義，即x-

4

x

+2x-m＞0對x∈[2，3]恒成立，得(x-

4

x

+2x)min＞m
令h(x)=x-

4

x

+2x，x∈[2，3]先證其單調遞增：
任取2≤x₁＜x₂≤3，
則h(x2)-h(x1)=x2-

4

x2

+2x2-(x1-

4

x1

+2x1)=

(x2-x1)(x1x2+4)

x1x2

+(2x2-2x1)
因為2≤x₁＜x₂≤3，則h（x₂）-h（x₁）＞0，
故h（x）在x∈[2，3]遞增，
則h(x)=x-

4

x

+2x的最小值h（2）=4，∴m＜4；
（III）設y₁=|f（x）|，y₂=t+4x-x²
結合圖象得：
①當t＜-4時，正根的個數為0；
②當t=-4時，正根的個數為1；
③當t＞-4時，正根的個數為2．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、函數奇偶性的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．