Question

求下列圓的方程:

(1)圓心在直線y=-2x上且與直線y=1-x相切于點(2,-1);

(2)圓心在點(2,-1),且截直線y=x-1所得弦長為2.

Answer 1

解:(1)設圓心坐標為(a,-2a),由題意知圓與直線y=1-x相切于點(2,-1),所以= ,解得a=1.所以所求圓心坐標為(1,-2),半徑r==

.所以所求圓的標準方程為(x-1)²+(y+2)²=2.

(2)設圓的方程為(x-2)²+(y+1)²=r²(r＞0),由題意知圓心到直線y=x-1的距離為d==.又直線y=x-1被圓截得弦長為2,所以由弦長公式得r²-d²=2,即r=2.所以所求圓的標準方程為(x-2)²+(y+1)²=4.

點評:本題的兩個題目所給條件均與圓心和半徑有關,故都利用了圓的標準方程求解,此外平面幾何的性質的應用,使得解法簡便了許多,所以類似問題一定要注意圓的相關幾何性質的應用,從確定圓的圓心和半徑入手來解決.