Question

若函數f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數，且對一切x＞0，y＞0滿足f（xy）=f（x）+f（y），則不等式f（x+6）+f（x）≤2f（4）的解集為

 

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Answer 1

分析：對一切x，y＞0滿足f（x）+f（y）=f（x•y）將不等式f（x+6）+f（x）≤2f（4）?則不等式f[x（x+6）]≤f（16）再根據函數的單調性將原不等式轉化為一元二次不等式即可．

解答：解：∵對一切x，y＞0滿足f（x）+f（y）=f（x•y），
∴2f（4）=f（4）+f（4）=f（16）
∵f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數，
∴則不等式f（x+6）+f（x）≤2f（4）?則不等式f[x（x+6）]≤f（16）

x+6＞0 x＞0 (x+6)•x≤16

??0＜x≤2
則不等式f（x+6）+f（x）≤2f（4）的解集{x|0＜x≤2}
故答案為；{x|0＜x≤2}．

點評：賦值法是解決抽象函數常用的方法．抽象函數是以具體函數為背景的，“任意x＞0，y＞0時，f（x）+f（y）=f（xy）”的背景函數是f（x）=log_ax（a＞0），我們可以構造背景函數來幫助分析解題思路．