Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD；四邊形ABCD是菱形，邊長為2，∠BCD=60°，經過AC作與PD平行的平面交PB與點E，ABCD的兩對角線交點為F．
（Ⅰ）求證：AC⊥DE；
（Ⅱ）若EF=

3

，求點D到平面PBC的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據條件得到AC⊥BD結合PD⊥平面ABCD，推得AC⊥平面PBD進而得到結論；
（Ⅱ）先根據條件得到EF是△PBD的中位線且得到PD=2

3

，再結合體積相等即可求出結論．

解答：解：（Ⅰ）證明：連接DE．
因為四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．    （2分）
又因為PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
所以PD⊥AC．                             （4分）
而PD∩BD=F，
所以AC⊥平面PBD．又DE?平面PBD，
所以AC⊥DE．            （6分）
（Ⅱ）連EF．設點D到平面PBC的距離為h
由題PD∥平面ACE，
平面ACE∩平面PDB=EF
所以PD∥EF                                                               （8分）
點F是BD中點，則EF是△PBD的中位線，
EF=

1

2

PD
EF=

3

，故PD=2

3

正三角形BCD的面積s△BCD=

1

2

×2×2×

3

2

=

3

                                （9分）
由（Ⅰ），知PD⊥平面BCD，V_P-BCD=

1

3

S_△BCD•PD=

1

3

×

3

×2

3

=2           （10分）
∵V_P-BCD=V_D-BCP=

1

3

•S_△BCP•h，
∵C=PB=4，s△BCP=

1

2

×2×

15

=

15

         （12分）
所以  

15

3

•h=2⇒h=

2 15

3

                                                  （13分）
故點D到平面PBC的距離為

2 15

3

．                                              （14分）

點評：本題考查的知識點是線線垂直以及點到面的距離．一般在證明線線垂直時，常轉化為證明線面垂直，得到線線垂直．