Question

如圖，A₁，A為橢圓的兩個頂點，F₁，F₂為橢圓的兩個焦點。

（1）寫出橢圓的方程及準線方程；
（Ⅱ）過線段OA上異于O，A的任一點K作OA的垂線，交橢圓于P，P₁兩點，直線A₁P與AP₁交于點M，求證：點M在雙曲線上。

Answer 1

解：（1）由圖可知，該橢圓的方程為，所以 該橢圓的方程為 準線方程為。
（2）設K點坐標，點P、P1的坐標分別記為， 其中，則……① 直線A1P，P1A的方程分別為：……② ……③ ②式除以③式得 化簡上式得，代入②式得 于是，直線A1P與AP1的交點M的坐標為 因為 所以，直線A1P與AP1的交點M在雙曲線上。