Question

函數(shù)的定義域為，若存在閉區(qū)間，使得函數(shù)滿足以下兩個條件：(1)在[m，n]上是單調(diào)函數(shù)；(2) 在[m，n]上的值域為[2m，2n]，則稱區(qū)間[m，n]為的“倍值區(qū)間”．下列函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”的有　         　（填上所有正確的序號）
①=x²（x≥0）；      ②=e^x（x∈R）；
③=；④=．

Answer 1

①③④

試題分析：函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”，則：(1)在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；(2)，或，①，若存在“倍值區(qū)間” ，則，∴，∴，∴，故存在“倍值區(qū)間” ；②，若存在“倍值區(qū)間” ，則，∴，構(gòu)建函數(shù)，∴，∴函數(shù)在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，∴函數(shù)在處取得極小值，且為最小值，　∵，∴無解，故函數(shù)不存在“倍值區(qū)間”；
③，，若存在“倍值區(qū)間” ，
則，∴，∴，故存在“倍值區(qū)間” ；④且，不妨設(shè)，則函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，若存在“倍值區(qū)間” ，則，∴，則方程，即，由于該方程有兩個不等的正根，故存在“倍值區(qū)間” ；綜上知，所給函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”的有①③④，故答案為：①③④．