Question

【題目】對定義在上的函數和常數，，若恒成立，則稱為函數的一個“凱森數對”.

（1）若是的一個“凱森數對”，且，求；

（2）已知函數與的定義域都為，問它們是否存在“凱森數對”？分別給出判斷并說明理由；

（3）若是的一個“凱森數對”，且當時，，求在區間上的不動點個數（函數的不動點即為方程的解）.

Answer 1

【答案】（1）7；（2）存在“凱森數對”，不存在“凱森數對”；（3）0.

【解析】

（1）由定義有，因此由這個遞推式由已知可依次計算出；

（2）根據新定義對兩個函數分別判斷；

（3）求出時，的解析式，然后解方程，此方程在上無解，從而無不動點，由此可得在上無不動點．

（1）由題意，∵，∴，，，；

（2）設是的一個“凱森數對”，則，即，由于是上的任意實數，∴，∴存在“凱森數對”，

設是的一個“凱森數對”，則，對確定的，此等式最多有兩個使它能成立，不可能對上的任意實數都成立，∴不存在“凱森數對”．

（3）根據新定義，，

當（）時，，

，

由，得，解得或，均不屬于，

即在上無不動點．

由于，

∴在上無不動點．不動點個數為0.