Question

（2006•崇文區一模）若（1+2^x）⁷展開式的第三項為168，則

lim

n→∞

(

1

x

+

1

x2

+…+

1

xn

)=

2

．

Answer 1

分析：由題意，可先由二項式通項公式得到C₇²2^2x=168，解得x=

3

2

，代入

lim

n→∞

(

1

x

+

1

x2

+…+

1

xn

)=

lim

n→∞

[

2

3

+(

2

3

)2+…+(

2

3

)n]，再由等比數列的求和公式求和，即可求得極限值得到答案

解答：解：由題意，C₇²2^2x=168，解得x=

3

2

∴

lim

n→∞

(

1

x

+

1

x2

+…+

1

xn

)=

lim

n→∞

[

2

3

+(

2

3

)2+…+(

2

3

)n]=

lim

n→∞

2 3 ×(1-( 2 3 )n)

1- 2 3

=

lim

n→∞

2×(1-(

2

3

)n)=2
故答案為2

點評：本題考查數列的極限，考查了二項式的通項，等比數列的前n項和公式，其中由二項式的通項建立方程解出x的值是解題的關鍵，本題考查了方程的思想，考查了計算能力