Question

【題目】已知函數在點處的切線是.

(1)求函數的極值；

(2)當恒成立時，求實數的取值范圍(為自然對數的底數).

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2).

【解析】試題分析：

（1）由題意可得函數的解析式（），則，的極大值為，無極小值.

（2）原問題等價于在恒成立，

【法一】設，由題意可得；.據此有，解得，故實數的取值范圍是.

【法二】設（），則，

結合導函數的解析式可知在上單調遞增，在上單調遞減.所以，即，則實數的取值范圍是.

試題解析：

（1）因為，所以，

因為點處的切線是，所以，且

所以，即（）

所以，所以在上遞增，在上遞減

所以的極大值為，無極小值.

（2）當在恒成立時,由（1），

即在恒成立，

【法一】設，則，，

又因為，所以當時，；當時，.

所以在上單調遞減，在上單調遞增，；

在上單調遞增，在上單調遞減，.

所以均在處取得最值，所以要使恒成立，

只需，即，解得，又，

所以實數的取值范圍是.

【法二】設（），則

當時，，，則，，即

當時，，，則，，即

所以在上單調遞增，在上單調遞減.

所以，即，又

所以實數的取值范圍是.