Question

已知向量

a

=（sin2x，1），向量

b

=（

2 sin(x+ π 4 )

2cosx

，1），函數f（x）=λ（

a

•

b

-1）
（1）若x∈[-

3π

8

，

π

4

]且當λ≠0時，求函數f（x）的單調遞減區間；
（2）當λ=2時，寫出由函數y=sin2x的圖象變換到函數y=f（x）的圖象的變換過程．

Answer 1

分析：利用向量的數量積，二倍角公式，兩角和的正弦函數化簡函數的表達式，
（1）通過x∈[-

3π

8

，

π

4

]且當λ≠0時，∴-π≤2x-

π

4

≤

π

4

，對λ＞0，λ＜0分類討論求出函數的單調減區間．
（2）當λ=2時，化簡函數的表達式，根據左加右減，先將y=sin2x的圖象向右平移

π

8

個單位，圖象上每個點的縱坐標擴大為原來的

2

倍，
所得圖象向上平移一個單位，變換到函數y=f（x）的圖象．

解答：解：

a

•

b

=（sin2x，1）•（

2 sin(x+ π 4 )

2cosx

，1）=sinx（sinx+cosx）+1
=

1

2

(sin2x-cos2x)+

1

2

=

2

2

sin(2x-

π

4

) +

1

2

∴f（x）=λ[

2

2

sin(2x-

π

4

) +

1

2

]
（1）x∈[-

3π

8

，

π

4

]∴-π≤2x-

π

4

≤

π

4

當λ＞0時，由-π≤2x-

π

4

≤-

π

2

得單調遞減區間為[-

3π

8

，-

π

8

]
同理，當λ＜0時，函數的單調遞減區間為[-

π

8

，

π

4

]
（2）當λ=2，f（x）=

2

sin(2x-

π

4

) +1，變換過程如下：
1°將y=sin2x的圖象向右平移

π

8

個單位可得函數y=sin(2x-

π

4

)的圖象．
2°將所得函數圖象上每個點的縱坐標擴大為原來的

2

倍，而橫坐標保持不變，可得函數y=

2

sin(2x-

π

4

)的圖象．
3°再將所得圖象向上平移一個單位，可得f（x）=

2

sin(2x-

π

4

) +1的圖象．

點評：本題是中檔題，考查向量的數量積，三角函數的化簡求值，函數的基本性質的應用，圖象的變換，注意圖象的變換的順序和方法，否則容易出錯．