Question

如圖所示，某市政府決定在以政府大樓O為中心，正北方向和正東方向的馬路為邊界的扇形地域內(nèi)建造一個圖書館．為了充分利用這塊土地，并考慮與周邊環(huán)境協(xié)調(diào)，設(shè)計要求該圖書館底面矩形的四個頂點都要在邊界上，圖書館的正面要朝市政府大樓．設(shè)扇形的半徑OM=R，∠MOP=45°，OB與OM之間的夾角為θ．
（1）將圖書館底面矩形ABCD的面積S表示成θ 的函數(shù)．
（2）求當(dāng)θ 為何值時，矩形ABCD的面積S有最大值？其最大值是多少？（用含R的式子表示）

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可知，OM⊥AD，設(shè)OM于BC的交點為F，可得AB=OF-

1

2

AD=Rcosθ-Rsinθ，化簡S=AB•BC的解析式為

2

R2sin(2θ+

π

4

)-R2，θ∈(0，

π

4

)．
（Ⅱ）根據(jù)2θ+

π

4

∈(

π

4

，

3π

4

)可得當(dāng) 2θ+

π

4

=

π

2

時，S有最大值．

解答：解：（Ⅰ）由題意可知，點M為PQ的中點，所以O(shè)M⊥AD．
設(shè)OM于BC的交點為F，則BC=2Rsinθ，OF=Rcosθ，AB=OF-

1

2

AD=Rcosθ-Rsinθ．
所以S=AB•BC=2Rsinθ（Rcosθ-Rsinθ）=R²（2sinθcosθ-2sin²θ）=R²（sin2θ-1+cos2θ）=

2

R2sin(2θ+

π

4

)-R2，θ∈(0，

π

4

)．
（Ⅱ）因為θ∈(0，

π

4

)，則2θ+

π

4

∈(

π

4

，

3π

4

)．
所以當(dāng) 2θ+

π

4

=

π

2

，即θ=

π

8

  時，S有最大值.Smax=(

2

-1)R2．
故當(dāng)θ=

π

8

 時，矩形ABCD的面積S有最大值(

2

-1)R2．

點評：本題主要考查二倍角公式的應(yīng)用，求三角函數(shù)的最值，屬于中檔題．