Question

已知P={x|x²-8x-20≤0}，Q={x||x-1|≤m}，m∈R．
（1）若P∪Q=P，求實數m的取值范圍；
（2）是否存在實數m，使得方程|x-1|=m至少有一個解x滿足“x∈P”？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據已知條件，解一元二次不等式求得集合P，解絕對值不等式求得集合Q，根據P∪Q=P，可得Q⊆P，列出關于m的不等式組，解此不等式組即可求得結果，注意對空集的討論；
（2）使得方程|x-1|=m至少有一個解x滿足“x∈P”，即求方程|x-1|=m在區間[-2，10]上至少有一個實數解，轉化為求函數y=|x-1|的值域，x∈[-2，10]，即可求得結果．

解答：解：P={x|x²-8x-20≤0}=[-2，10]，Q={x||x-1|≤m}=[1-m，1+m]，
（1）∵P∪Q=P，則Q⊆P
①當Q=∅時，則m＜0；
②當Q≠∅時，則

m≥0 1-m≥-2 1+m≤10

，解得0≤m≤3，
綜合①②得m≤3；
（2）由方程|x-1|=m有解知：m≥0．
要使方程|x-1|=m的至少有一個解x滿足“x∈P”，即|x-1|=m在區間[-2，10]上至少有一個實數解，
只需m≤9．
故m的取值范圍為0≤m≤9．

點評：本題考查一元二次不等式的解法和絕對值不等式的解法，由P∪Q=P?Q⊆P，以及對∅的討論是解問題（1）的關鍵；問題（2）的題意的理解和轉化是解此題的關鍵，屬中檔題．