Question

定義F（x，y）=（1+x）^y，x，y∈（0，+∞），
（1）令函數f（x）=F（1，log₂（x²-4x+9））的圖象為曲線C₁，曲線C₁與y軸交于點A（0，m），過坐標原點O作曲線C₁的切線，切點為B（n，t）（n＞0），設曲線C₁在點A、B之間的曲線段與線段OA、OB所圍成圖形的面積為S，求S的值．
（2）當x，y∈^N*且x＜y時，證明F（x，y）＞F（y，x）；
（3）令函數g（x）=F（1，log₂（x³+ax²+bx+1））的圖象為曲線C₂，若存在實數b使得曲線C₂在x₀（-4＜x₀＜-1）處有斜率為-8的切線，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把函數f（x）=F（1，log₂（x²-4x+9））代入已知的新定義，根據對數的運算法則化簡，得到f（x）的解析式，把x=0代入f（x）的解析式即可求出m的值，求出f（x）的導函數，把x=n代入導函數求出的導函數值即為切線的斜率，然后用切點坐標表示出斜率，兩者相等列出n與t的關系式，把切點坐標代入f（x）得到另一個關于n與t的關系式，兩者聯立即可求出n與t的值，確定出點B的坐標，然后利用定積分的方法即可求出曲線C₁在點A、B之間的曲線段與線段OA、OB所圍成圖形的面積為S；
（2）令函數h（x）=

ln(1+x)

x

，求出h（x）的導函數，由分母大于0，令分子等于p（x），求出p（x）的導函數，根據p（x）導函數的正負，判斷p（x）的增減性，進而得到p（x）小于0，且得到h（x）導函數的正負，得到h（x）的增減性，利用函數的增減性即可得證；
（3）利用題中的定義確定出g（x）的解析式，求出g（x）的導函數，把x=x₀代入導函數求出的導函數值即為-8，列出一個關系式，記作①，把-4＜x₀＜-1記作②，由log₂（x³+ax²+bx+1）大于0，把x=x₀代入得到一個不等式，記作③，由①解出b，代入③得到一個不等式與②聯立，把②中的兩個端點代入不等式中即可得到a的取值范圍．

解答：解：（1）∵F（x，y）=（1+x）^y，
∴f(x)=F(1，log2(x2-4x+9))=2log2(x2-4x-9)=x2-4x+9，
故A（0，9），
又過坐標原點O向曲線C₁作切線，切點為B（n，t）（n＞0），f'（x）=2x-4．
∴

t=n2-4n+9 t n =2n-4

，解得B(3，6)，
∴S=

∫

3 0

(x2-4x+9-2x)dx=(

x3

3

-3x2+9x)

|

3 0

=9；
（2）令h(x)=

ln(1+x)

x

，x≥1，由h′(x)=

x 1+x -ln(1+x)

x2

，
又令p(x)=

x

1+x

-ln(1+x)，x＞0，
∴p′(x)=

1

(1+x)2

-

1

1+x

=

-x

(1+x)2

＜0，∴p（x）在[0，+∞）單調遞減．
∴當x＞0時有p（x）＜p（0）=0，∴當x≥1時有h'（x）＜0，∴h（x）在[1，+∞）單調遞減，
∴1≤x＜y時，有

ln(1+x)

x

＞

ln(1+y)

y

，
∴yln（1+x）＞xln（1+y），
∴（1+x）^y＞（1+y）^x，
∴當x，y∈N^*且x＜y時F（x，y）＞F（y，x）．
（3）g（x）=F（1，log₂（x²+ax²+bx+1））=x³+ax²+bx+1，
設曲線C₂在x₀（-4＜x＜-1）處有斜率為-8的切線，
又由題設log₂（x³+ax²+bx+1）＞0，g'（x）=3x²+2ax+b，
∴存在實數b使得

3 x 2 0 +2ax0+b=-8① -4＜x0＜-1② x 3 0 +a x 2 0 +bx0+1＞1③

有解，
由①得b=-8-3x₀²-2ax₀，代入③得-2x₀²-ax₀-8＜0，
∴由

2 x 2 0 +ax0+8＞0 -4＜x0＜-1

有解，
得2×（-4）²+a×（-4）+8＞0或2×（-1）²+a×（-1）+8＞0，
∴a＜10或a＜10，
綜上，實數a的取值范圍為a＜10．

點評：此題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用定積分求曲線圍成的面積，會根據導函數的正負確定函數的單調性，是一道中檔題．