Question

已知函數（a＞0且a≠1），若x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），則x₁+x₂的值（ ）
A．恒小于2
B．恒大于2
C．恒等于2
D．與a相關

Answer 1

【答案】分析：根據已知中函數f（x）的解析式，令x₁≠x₂時，f（x₁）=f（x₂）=t，且-1＜x₁＜1＜x₂＜3，我們可將x₁與x₂的值均用含a，t的式子表達，進而根據指數函數的單調性，判斷出x₁+x₂的值的范圍．
解答：解：若x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂）=t，
不妨令-1＜x₁＜1＜x₂＜3，則-1＜2-x₂＜1
則log_a（x₁+1）=t，則x₁=a^t-1，
且log_a（3-x₂）+a-1=t，則x₂=3-a^t+1-a，
則x₁+x₂=2+（a^t-a^t+1-a）
由a＞0且a≠1，
當0＜a＜1時，y=a^x為減函數，且t＜t+1-a，則a^t＞a^t+1-a，此時x₁+x₂＞2；
當a＞1時，y=a^x為增函數，且t＞t+1-a，則a^t＞a^t+1-a，此時x₁+x₂＞2；
故x₁+x₂的值恒大于2
故選B
點評：本題考查的知識點是分段函數的解析式求法及其圖象的作法，指數函數的單調性，其中分別將x₁與x₂的值均用含a，t的式子表達，是解答本題的關鍵．