Question

已知邊長分別為a米和b米的矩形球場ABCD，在球場正中的上方懸掛一照明燈P，已知球場上各點照明亮度與燈光照射到這點光線和地面夾角的正弦成正比，與這點到燈的距離的平方成反比，若要使球場最邊緣的點A獲得最好的照明亮度，燈距地面的高度應為多少米？

Answer 1

分析：設∠PAO=θ，照明亮度為Q，則由題意得出照明亮度的函數關系式，再利用導數求出函數Q的最大值即可，從而得出若要使球場最邊緣的點A獲得最好的照明亮度，燈距地面的高度應為多少米．

解答：解：設∠PAO=θ，照明亮度為Q，
則Q=k•

sinθ

AP2

=k•

sinθcos2θ

OA 2

令y=sinθcos²θ=sinθ（1-sin²θ）=-sin³θ+sinθ
設sinθ=t，則y=-t³+t
y'=-3t²+1=0，解得t=

3

3

即sinθ=

3

3

，則tanθ=

2

2

∴當t=

3

3

時Q取最大值
而OA=

a2+b2

2

此時OP=OA•tanθ=

a2+b2

2

×

2

2

=

2(a2+b2)

4

答：若要使球場最邊緣的點A獲得最好的照明亮度，燈距地面的高度應為

2(a2+b2)

4

米．

點評：本題主要考查了空間想象能力，實際應用能力和建模能力，以及利用導數求函數的最值等有關知識，屬于難題．