Question

已知函數f(x)=(

1

2

)x+(

1

4

)x-2．
（1）判斷f（x）的單調性；
（2）求f（x）的值域；
（3）解方程f（x）=0；
（4）求解不等式f（x）＞0．

Answer 1

分析：（1）此函數由y=t²+t-2與t=(

1

2

)x兩個函數復合而成，判斷出內層函數的單調性以及內層函數的值域與外層函數的單調區間的關系，再由復合函數單調性的判斷規則同增異減得出復合函數的單調性；
（2）由（1）內層函數的值域是（0，+∞），解出外層函數y=t²+t-2在（0，+∞）上的值域，求得函數的值域；
（3）由f（x）=0得t²+t-2=0，解出t=1，令(

1

2

)x=1解出x的值即可得到方程的根；
（4）由f（x）＞0得t²+t-2＞0解得t＞1或t＜-2（舍），令(

1

2

)x＞1，解得x的取值范圍，即為原不等式的解集

解答：解：（1）此函數由y=t²+t-2與t=(

1

2

)x兩個函數復合而成，由于t=(

1

2

)x是一個減函數，且其值域為（0，+∞），函數
y=t²+t-2在（-

1

2

，+∞）是增函數，此復合函數外增內減，故是單調遞減函數；
（2）由（1）內層函數的值域是（0，+∞），外層函數在（0，+∞）上是增函數，故函數的值域為（-2，+∞）；
（3）由f（x）=0得t²+t-2=0，解得t=-2（舍）或t=1，令(

1

2

)x=1解得x=0；
（4）由f（x）＞0得t²+t-2＞0解得t＞1或t＜-2（舍），令(

1

2

)x＞1，解得x＜0，即不等式的解集是（-∞，0）．

點評：本題考查復合函數的單調性，解此類題關鍵是分清內外層函數及它們的性質，本題將復合函數性質研究問題一分為二研究單調性，這是復合函數單調性研究常用的方法，在求解復合函數的值域時采取的順序是先內而外，解此類方程或解此類不等式時由外而內，題后注意體會總結復合函數中這幾個題型的解題的方法規律．