Question

設橢圓+=1(a>b>0)的左,右焦點分別為F₁,F₂,點P(a,b)滿足|PF₂|=|F₁F₂|.
(1)求橢圓的離心率e;
(2)設直線PF₂與橢圓相交于A,B兩點.若直線PF₂與圓(x+1)²+(y-)²=16相交于M,N兩點,且|MN|=|AB|,求橢圓的方程.

Answer 1

(1)    (2) +=1

解:(1)設F₁(-c,0),F₂(c,0)(c>0),
因為|PF₂|=|F₁F₂|,
所以=2c,
整理得2（）²+-1=0,
得=-1(舍去),或=,
所以e=.
(2)由(1)知a=2c,b=c,
可得橢圓方程為3x²+4y²=12c²,
直線PF₂的方程為y=(x-c).
A、B兩點的坐標滿足方程組
消去y并整理,得5x²-8cx=0,
解得x₁=0,x₂=c.
得方程組的解　
不妨設A（c,c）,B(0,-c),
所以|AB|==c.
于是|MN|=|AB|=2c.
圓心(-1,)到直線PF₂的距離
d==.
因為d²+=4²,
所以(2+c)²+c²=16.
整理得7c²+12c-52=0,
解得c=-(舍去)或c=2.
所以橢圓方程為+=1.