Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，數列{b_n}的前n項和為T_n，已知Sn=

n2+3n

2

，bn=12×32-an．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）是否存在一個最小正整數M，當n＞M時，S_n＞Tn恒成立？若存在求出這個M值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）已知s_n的遞推關系式，根據a_n=s_n-s_n-1即可求出數列{a_n}的通項公式，
（Ⅱ）把a_n的表達式代入b_n中，證明數列{b_n}是等比數列，根據等比數列的求和公式求出T_n，然后證明當n＞M時，S_n＞Tn恒成立，解答是不是存在M值．

解答：解：（I）當n=1時，a₁=S₁=2
當n＞1時，a_n=S_n-S_n-1=n+1，
綜上，數列{a_n}的通項公式是a_n=n+1（n∈N*）
（II）bn=12×32-(n+1)=36×

1

3n

，
b1=12，

bn+1

bn

=

1

3

，∴數列{bn}是以12為首項，

1

3

為公比的等比數列．
∴Tn=

12[1-( 1 3 )n]

1- 1 3

=18(1-

1

3n

).
由此可知12≤T_n＜18．
而{S_n}是一個遞增數列，
且S₁=2，T₁=12，S₂=5，T₂=16，S₃=9，T₃=17

2

3

，S₄=14，T₄=17

80

81

，S5=20.
故存在一個最小正整數M=4，當n＞M時，S_n＞T_n恒成立．

點評：本題主要考查數列求和的知識點，解答本題的關鍵是根據a_n=s_n-s_n-1即可求出數列{a_n}的通項公式，還要熟練掌握等比數列的求和公式，數列是高考的常考題，需要同學們熟練掌握．