Question

【題目】已知三次函數過點，且函數在點處的切線恰好是直線.

（Ⅰ）求函數的解析式；

（Ⅱ） 設函數，若函數在區間上有兩個零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)f（x）=x3﹣3x2(2)[﹣1，6）．

【解析】分析：（1）根據已知條件即可建立關于b、c、d的三個方程，解方程即可求出b、c、d，從而求出函數的解析式；

（2）由已知條件得：f（x）﹣g（x）=0在[﹣2，1]上有兩個不同的解，即x3﹣3x2﹣9x﹣m+1=0在區間[﹣2，1]有兩個不同的解，即m=x3﹣3x2﹣9x+1在[﹣2，1]上有兩個不同解，求函數x3﹣3x2﹣9x+1在區間[﹣2，1]上的取值范圍，要使方程有兩個不同的解，從而求出因滿足的范圍，這樣便求出了的取值范圍.

詳解：（1）f′（x）=3x2+2bx+c，由已知條件得：

，解得b=﹣3，c=d=0；

∴f（x）=x3﹣3x2

（2）由已知條件得：f（x）﹣g（x）=0在[﹣2，1]上有兩個不同的解；

即x3﹣3x2﹣9x﹣m+1=0在區間[﹣2，1]有兩個不同的解；

即m=x3﹣3x2﹣9x+1在[﹣2，1]上有兩個不同解．

令h（x）=x3﹣3x2﹣9x+1，h′（x）=3x2﹣6x﹣9，x∈[﹣2，1]；

解3x2﹣6x﹣9＞0得：﹣2≤x＜﹣1；解3x2﹣6x﹣9＜0得：﹣1＜x≤1；

∴h（x）max=h（﹣1）=6，又f（﹣2）=﹣1，f（1）=﹣10，∴h（x）min=﹣10；

m=h（x）在區間[﹣2，1]上有兩個不同的解，∴﹣1≤m＜6．

∴實數m的取值范圍是[﹣1，6）．