Question

令f(n)=logn+1(n+2)(n∈N*)．如果對k（k∈N^*），滿足f（1）•f（2）•…•f（k）為整數，則稱k為“好數”，那么區間[1，2012]內所有的“好數”的和S=

2026

．

Answer 1

分析：先利用換底公式與疊乘法把f（1）•f（2）•…•f（k）化為log₂（k+2）；然后根據f（1）•f（2）•…•f（k）為整數，可得k=2ⁿ-2；由此求得[1，2011]內所有的“好數”的和 S=（2²-2）+（2³-2）+（2⁴-2）+…+（2¹⁰-2）的值．

解答：解：∵f（n）=log_n+1（n+2）=

lg(n+2)

lg(n+1)

，（n∈N^*），
∴f（1）f（2）f（3）…f（n）=

lg3

lg2

•

lg4

lg3

•

lg5

lg4

…

lg(n+2)

lg(n+1)

=

lg(n+2)

lg2

=log₂（k+2）．
又∵f（1）•f（2）•…•f（k）為整數，∴k+2必須是2的n次冪（n∈N^*），即k=2ⁿ-2．
∴[1，2011]內所有的“好數”的和為 S=（2²-2）+（2³-2）+（2⁴-2）+…+（2¹⁰-2）
=2² +2³+2⁴+…+2ⁿ-2×9=

4(1-29)

1-2

-2×9=2026，
故答案為 2026．

點評：本題在理解新定義的基礎上，考查換底公式、疊乘法及等比數列前n項和公式，其綜合性、技巧性是比較強的，屬于基礎題．