Question

已知函數(shù)（）．
（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）函數(shù)在定義域內(nèi)是否存在零點(diǎn)？若存在，請指出有幾個零點(diǎn)；若不存在，請說明理由；
（3）若對任意恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

（1）的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（2）當(dāng)時，函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn)；當(dāng)時，函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn)；當(dāng)時，函數(shù)沒有零點(diǎn)；（3）
a的取值范圍是．

解析試題分析：（1）首先求導(dǎo)：，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號確定其單調(diào)性．時，函數(shù)單調(diào)遞增；時，函數(shù)單調(diào)減；（2）首先分離參數(shù).由，得.令（），下面就利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，然后結(jié)合圖象便可得知的零點(diǎn)的個數(shù)；（3）要使得對任意恒成立，只需的最小值大于零即可. 由，則．當(dāng)時，對，有，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，即對恒成立．當(dāng)時，由（1），單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，若對任意恒成立，只需，顯然不可能直接解這個不等式，下面利用導(dǎo)數(shù)來研究，看在什么條件下這個不等式能成立.令（），，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，故在上恒成立，也就是說當(dāng)時，滿足的a不存在．所以a的取值范圍是．
（1）由，則．
由，得；由，得，
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為． 4分
（2）函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/1c/3/8yqxo1.png" style="vertical-align:middle;" />，由，得（）， 5分
令（），則，
由于，，可知當(dāng)