Question

已知動點P與直x=4的距離等于它到定點F（1，0）的距離的2倍，
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）點M（1，1）在所求軌跡內，且過點M的直線與曲線C交于A、B，當M是線段AB中點時，求直線AB的方程．

Answer 1

分析：（1）利用點到直線的距離公式及兩點間的距離公式將已知的幾何條件轉化為坐標關系，化簡得到動點P的軌跡C的方程．
（2）先檢驗直線斜率不存在時，再設出直線斜率存在的方程，設出兩交點坐標，將兩交點的坐標代入橢圓方程，兩個等式相減得到直線的斜率與中點的坐標的關系，求出直線的方程．

解答：解：（1）設動點P（x，y），由

|x-4|

(x-1)2+y2

=2，平方整理得

x2

4

+

y2

3

=1即為軌跡C的方程．
（2）當直線AB的斜率不存在時，直線x=1與橢圓交于兩點，由圖形的對稱性，
線段AB的中點應在x軸上，M點不滿足題意．故直線AB的斜率存在，
設直線AB的方程為y-1=k（x-1）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

x12 4 + y12 3 = 1 x22 4 + y22 3 =1

作差得

x12-x22

4

=-

y12-y22

3

∴k=

y1-y2

x1-x2

=-

3

4

x1+x2

y1+y2

=-

3

4

∴直線AB的方程為：y-1=-

3

4

(x-1)
即3x+4y-7=0

點評：解決直線與圓錐曲線的位置關系的問題，若牽扯到相交弦的中點問題，一般利用設出交點坐標，代入圓錐曲線的方程，作差得到直線的斜率與相交弦的中點坐標間的關系．