Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若的極大值和極小值分別為，，證明：．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；（2）證明見解析.

【解析】

（1）利用切線與直線相互垂直，得到斜率之間的關(guān)系，計(jì)算出的值；對(duì)求導(dǎo)后，對(duì)導(dǎo)函數(shù)因式分解，然后判斷符號(hào)并寫出單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)出極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，利用導(dǎo)函數(shù)找到韋達(dá)定理與的關(guān)系（注意范圍），同時(shí)將化簡至全部用表示，然后構(gòu)造函數(shù)分析最值.

（1）解：由，得，

∴，

又曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，

∴，即.

則，得，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

（2）設(shè)，為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則，，

由題意得，解得，

又因?yàn)楹瘮?shù)的極大值和極小值分別為，，

則，

.

令，

則，當(dāng)時(shí)，，所以是增函數(shù)，

則，即.