Question

（2012•重慶）如圖，設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)O，長軸在x軸上，上頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，線段OF₁，OF₂的中點(diǎn)分別為B₁，B₂，且△AB₁B₂是面積為4的直角三角形．
（Ⅰ）求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過B₁作直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，使PB₂⊥QB₂，求△PB₂Q的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，F(xiàn)₂（c，0），利用△AB₁B₂是的直角三角形，|AB₁|=AB₂|，可得∠B₁AB₂為直角，從而b=

c

2

，利用c²=a²-b²，可求e=

c

a

=

2

5

5

，又S=

1

2

|B₁B₂||OA|=

c

2

•b=b2=4，故可求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知B₁（-2，0），B₂（2，0），由題意，直線PQ的傾斜角不為0，故可設(shè)直線PQ的方程為x=my-2，代入橢圓方程，消元可得（m²+5）y²-4my-16-0，利用韋達(dá)定理及PB₂⊥QB₂，利用

B2P

•

B2Q

=0可求m的值，進(jìn)而可求△PB₂Q的面積．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，F(xiàn)₂（c，0）
∵△AB₁B₂是的直角三角形，|AB₁|=AB₂|，∴∠B₁AB₂為直角，從而|OA|=|OB₂|，即b=

c

2

∵c²=a²-b²，∴a²=5b²，c²=4b²，∴e=

c

a

=

2

5

5

在△AB₁B₂中，OA⊥B₁B₂，∴S=

1

2

|B₁B₂||OA|=

c

2

•b=b2
∵S=4，∴b²=4，∴a²=5b²=20
∴橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

20

+

y2

4

=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知B₁（-2，0），B₂（2，0），由題意，直線PQ的傾斜角不為0，故可設(shè)直線PQ的方程為x=my-2
代入橢圓方程，消元可得（m²+5）y²-4my-16=0①
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∴y1+y2=

4m

m2+5

，y1y2=

-16

m2+5

∵

B2P

=(x1-2，y1)，

B2Q

=(x2-2，y2)
∴

B2P

•

B2Q

=(x1-2)(x2-2)+y1y2=-

16m2-64

m2+5

∵PB₂⊥QB₂，∴

B2P

•

B2Q

=0
∴-

16m2-64

m2+5

=0，∴m=±2
當(dāng)m=±2時，①可化為9y²±8y-16-0，
∴|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

8

9

10

∴△PB₂Q的面積S=

1

2

|B₁B₂||y₁-y₂|=

1

2

×4×

8

9

10

=

16

9

10

．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運(yùn)用，考查三角形的面積計算，綜合性強(qiáng)．