Question

（06年天津卷文）（14分）

       如圖，雙曲線的離心率為、分別為左、右焦

點，M為左準線與漸近線在第二象限內的交點，且

      

 

（I）求雙曲線的方程；

（II）設和是軸上的兩點。過點A作斜率不為0的直線使得交雙曲線于C、D兩點，作直線BC交雙曲線于另一點E。證明直線DE垂直于軸。

Answer 1

本小題主要考查雙曲線的標準方程和幾何性質、直線方程、平面向量、曲線和方程的關系等解析幾何的基礎知識和基本思想方法，考查推理及運算能力。

解析：（I）根據題設條件，

       設點則、滿足

             

       因解得，故

      

                     　

       利用得于是因此，所求雙曲線方程為

             

      

（II）設點則直線的方程為

             

       于是、兩點坐標滿足　　　

       將①代入②得

             

       由已知，顯然于是因為得

             

       同理，、兩點坐標滿足

             

       可解得

             

       所以，故直線DE垂直于軸。