Question

【題目】已知函數的圖象過原點，且在原點處的切線與直線垂直．（為自然對數的底數）．

（1）討論的單調性；

（2）若對任意的，總有成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）分類討論，詳見解析；（2）.

【解析】

（1）首先由題可得，由此得到，再分，及討論得出結論；

（2）所求問題等價于在上恒成立，構造函數，只需求出函數在上的最大值即可．

（1）依題意，，即，故，

由在原點處的切線與直線垂直可知，，則，

，

①當時，在上恒成立，此時函數在上單調遞增；

②當時，由解得或，由解得，

此時函數在，上單調遞增，在上單調遞減；

③當時，由解得或，解得，

此時函數在，上單調遞增，在上單調遞減；

（2）由（1）可知，，則對任意上恒成立，

，在上恒成立，

設，則，

令，則，

由解得，

易知當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，

，

在上單調遞減，

，

，即實數的取值范圍為．