Question

（本小題滿分12分）
求與軸x軸相切，圓心在直線3x－y=0上，且被直線x-y=0截下的弦長2的圓的方程

Answer 1

圓方程為x²+y²-2x-6y+1=0，或x²+y²+2x+6y+1=0[

解：法一：設所求圓點方程是(x-a)²+(y-b)²=r²，
則圓心(a,b)到直線x－y=0的距離為，………………………….……3分
，即2r²=(a-b)²+14   ①…………….………5分
由于所求圓與x軸相切，∴r²=b²        ②………………………..……7分
又所求圓心在直線3x-y=0上，∴3a-b="0  " ③   …………………………9分
聯立①②③解得 a=1,b=3,r³=9，或a=-1,b=-3,r²=9，……………….11分
故所求圓方程為(x-1)²+(y-3)²=9或(x+1)²+(y+3)²=9.......... 12分
法二：設所求圓點方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0
圓心為半徑為
令y=0，得x²+Dx+F=0，由圓與x軸相切，得△=0，
即D²="4F " ①
又圓心到直線x-y=0的距離為。
由已知得，
即(D-E)²+56=2(D²+E²-4F) ②
又圓心在直線3x-y=0上，∴3D-E="0  " ③
聯立①②③得D=-2,E=-6,F=1或D=2,E=6,F=1
故所求圓方程為x²+y²-2x-6y+1=0，或x²+y²+2x+6y+1=0