Question

【題目】問：是否存在這樣的正整數數列，滿足，且對每個，均有或；而其各項的值恰構成的一個排列？證明你的結論.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

由于，而，注意到，“差”運算具有“平移性”，即若或13，則對任意的整數，也有或13.

為此，先將集合｛1，2，…，33｝中的數排成一個圈，使得圈上任何相鄰兩數之差均為20或13，如圖.

將此圈從任一間隙處剪開，鋪陳的線狀排列，均滿足或13.

為將數列鎖定，在前面添加一項，使數列也滿足條件，可選擇與數33相鄰的一個間隙剪開.例如，從33右側間隙剪開，并按順時針排列就成為：

0，13，26，6，19，32，12，25，5，18，31，11，24，4，17，30，10，23，3，16，29，9，22，2，15，28，8，21，1，14，27，7，20，33，（記為）.

若從33左側間隙剪開，并按逆時針排列則成為：

0，20，7，27，14，…，6，26，13，33.

以上兩種排列均滿足或13.

記分段數列，

，

其中，.

將這些段作如下聯結：，所得到的數列滿足條件.

事實上，，

對其中任意兩個鄰項、屬于同一個分段，顯然，或13；若相鄰項、屬于兩個相鄰段與，則是的首項，即

，

而是的末項，即，此時，.

因此，數列滿足條件.