Question

一次考試共有12道選擇題，每道選擇題都有4個選項，其中有且只有一個是正確的．評分標準規定：“每題只選一個選項，答對得5分，不答或答錯得零分”．某考生已確定有8道題的答案是正確的，其余題中：有兩道題都可判斷兩個選項是錯誤的，有一道題可以判斷一個選項是錯誤的，還有一道題因不理解題意只好亂猜．請求出該考生：
（1）得60分的概率；
（2）得多少分的可能性最大？
（3）所得分數ξ的數學期望（用分數表示，精確到0.01）．

Answer 1

分析：（1）設“可判斷兩個選項是錯誤的”兩道題之一選對的為事件A，“有一道題可判斷一個選項是錯誤”選對的為事件B，“有一道題不理解題意”選對的為事件C，則P（A）=

1

2

，P（B）=

1

3

，P（C）=

1

4

，從而可得60分的概率；
（2）分別求出得40，45，50，55，60分的概率，即可得到結論；
（3）利用數學期望公式，結合求出的概率，即可求所得分數ξ的數學期望．

解答：解：（1）設“可判斷兩個選項是錯誤的”兩道題之一選對的為事件A，“有一道題可判斷一個選項是錯誤”選對的為事件B，“有一道題不理解題意”選對的為事件C，則P（A）=

1

2

，P（B）=

1

3

，P（C）=

1

4

，
∴得60分的概率為P=

1

2

×

1

2

×

1

3

×

1

4

=

1

48

．…（4分）
（2）得45分或50分的可能性最大．
得40分的概率為

1

2

×

1

2

×

2

3

×

3

4

=

1

8

；…（5分）
得45分的概率為

C

1 2

×

1

2

×

1

2

×

2

3

×

3

4

+

1

2

×

1

2

×

1

3

×

3

4

+

1

2

×

1

2

×

2

3

×

1

4

=

17

48

；…（6分）
得50分的概率為

1

2

×

1

2

×

2

3

×

3

4

+

C

1 2

×

1

2

×

1

2

×

1

3

×

3

4

+

C

1 2

×

1

2

×

1

2

×

2

3

×

1

4

+

1

2

×

1

2

×

1

3

×

1

4

=

17

48

；…（8分）
得55分的概率為

C

1 2

×

1

2

×

1

2

×

1

3

×

1

4

+

1

2

×

1

2

×

2

3

×

1

4

+

1

2

×

1

2

×

1

3

×

3

4

=

7

48

．…（10分）
（3）Eξ=40×

1

8

+（45+50）×

17

48

+55×

7

48

+60×

1

48

=

575

12

≈47.92…（12分）

點評：本題考查概率的計算，考查離散型隨機變量數學期望，確定變量的取值，求出相應的概率是關鍵．