Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，．過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線與的交點(diǎn)為．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求證：點(diǎn)在一條定直線上．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）由已知得a=2．e==，由此能求出a，b；

（2）設(shè)直線A1M的方程為y=k1（x+2），直線A2N的方程為y=k2（x﹣2）．聯(lián)立方程組，得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，），同理，點(diǎn)N（，）．由M，D，N三點(diǎn)共線，得k2=3k1，由此能證明點(diǎn)G恒在定直線x=4上．

(1)由橢圓兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，題設(shè)可知

因?yàn)?/span>，即，所以．

又因?yàn)?/span>，所以．

所以，所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

(2)由題意知，直線與直線的斜率存在，故設(shè)直線的方程為，直線的方程為．

聯(lián)立方程組，消去y得，

解得點(diǎn)．同理，解得點(diǎn).

由M，D，N三點(diǎn)共線，有，化簡(jiǎn)得．

由題設(shè)可知與同號(hào)，所以．

聯(lián)立方程組，解得交點(diǎn)．將代入點(diǎn)G的橫坐標(biāo)，

得．所以，點(diǎn)G恒在定直線上．