Question

【題目】已知自然數(shù)有20個正整數(shù)因子（包括1和本身），它們從小到大依次記作，，，…，，且序號為的因數(shù)為．求自然數(shù)．

Answer 1

【答案】2000

【解析】

因為是的因數(shù)，

所以，與是的因數(shù)．

于是，，．

∴．

∵，

∴．

∴．此時，，．

由知，含有1，2，4，5，10，20這六個正整數(shù)因子，

所以至少含有2和5這兩個質(zhì)因子．

又有20個正因子，，

故可設(shè)為（為不等于2和5的質(zhì)數(shù)）、、或．

（1）當(dāng)時，

①當(dāng)時，，，…，依次為1，2，3，4，5，6，8，10．此時，，與相矛盾．

②當(dāng)時，，，…，依次為1，2，4，5，7，8，10，14．此時，，與相矛盾．

③當(dāng)時，，，，…，依次為1，2，4，5，8，10，，16或為1，2，4，5，8，10，16，，與相矛盾．

④當(dāng)時，的正因數(shù)為1，2，4，5，8，10，16，20，40，80，，，，，，…．

∴，，，．

∴．

于是，，不為質(zhì)數(shù)，

故．

（2）當(dāng)時，，，，．不滿足．

（3）當(dāng)時，，與相矛盾．

（4）當(dāng)時，，，，，，，．顯然滿足，．

∴．

故所求的自然數(shù)為2000．