Question

【題目】已知.

（1）求證：恒成立；

（2）試求的單調區間；

（3）若，，且，其中，求證：恒成立.

Answer 1

【答案】(1) 證明見解析；(2) 單調遞增區間為，無單調遞減區間。 (3)證明見解析

【解析】

（1）構造函數，利用導數求出函數的最小值，利用來證明所證不等式成立；

（2）先解等式可得出函數的定義域，求出該函數的導數，利用（1）中的結論得出在定義域內恒成立，由此可得出函數的單調區間；

（3）證法一：利用分析法得出要證，即證，利用數學歸納法和單調性證明出對任意的恒成立，再利用（1）中的不等式即可得證；

證法二：利用數學歸納法證明，先驗證當時，不等式成立，即，再假設當時不等式成立，即，利用函數的單調性得出，由歸納原理證明所證不等式成立.

（1）令，則，由得，由得.

函數在上單調遞減，在上單調遞增，

，即恒成立；

（2）由得或，函數的定義域為，

因為，

由（1）可知當時，恒成立，且，.

函數單調遞增區間為，，無單調遞減區間；

（3）證法一：，要證，即證，

即證，即證.

先證對任意，，即，即.

構造函數，其中，則，

則函數在上單調遞增，，

所以，對任意的，，即，.

下面證明對任意的，.

，.

假設當時，，則當時，.

由上可知，對任意的，.

由（1）可知，當時，，，，

因此，對任意的，；

證法二：數學歸納法

①當時，，，

，，即成立；

②假設當時結論成立，即成立.

由（2）知，函數在上單調遞增，，

又，，，當時結論成立

綜合①②，恒成立.