Question

【題目】若函數，，對任意的，總存在，使得，則稱函數具有性質．

（1）判斷函數和是否具有性質，說明理由；

（2）若函數，具有性質，求的值；

（3）若函數（）在實數集上具有性質，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) 具有性質，不具有性質，理由見詳解；(2)；(3).

【解析】

（1）對函數根據性質的定義容易證明；對函數只需舉反例即可說明；

（2）根據函數的單調性，結合性質的定義，解方程即可求得；

（3）一方面要保證函數的定義域為，另一方面要保證性質，據此列不等式組求解即可.

（1）函數的定義域為，又

若，則，

對任意的，總存在，使得

故函數具有性質.

函數的定義域為,

令，則，不存在，

使得，

故不具有性質.

（2）因為，是單調增函數，

若其具有性質，只需

解得，故.

（3）等價于

故

因為，要使得函數（）在實數集上具有性質

則一方面要保證函數定義域為，

則只需要分母不為零，在上恒成立，故，解得;

另一方面要保證關于的方程有兩個不同實數根，

故，解得.

綜上所述：.