Question

已知四棱錐S-ABCD，底面為正方形，SA⊥底面ABCD，AB=AS=a，M、N分別為AB、SC中點．
（Ⅰ）求四棱錐S-ABCD的表面積；
（Ⅱ）求證：MN∥平面SAD．

Answer 1

（Ⅰ）∵SA⊥底面ABCD，∴SA⊥AB，SA⊥AD，SA⊥BC．
又BC⊥AB，∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥SB，同理，CD⊥SD，（3分）
∴△SAB≌△SAD，△SBC≌△SCD．
又∵SB=

2

a，∴S_表面積=2S_△SAB+2S_△SBC+S_ABCD
=2×

1

2

a2+2×

1

2

a•

2

a+a2=(2+

2

)a2．（7分）
（Ⅱ）取SD中點P，連接MN、NP、PA，則NP=

1

2

CD，且NP∥CD．（9分）
又AM=

1

2

CD，且AM∥CD，∴NP=AM，NP∥AM，∴AMNP是平行四邊形．（12分）
∴MN∥AP，而AP?平面SAD，MN不在平面SAD內，∴MN∥平面SAD．（14分）