Question

已知點M是圓C：x²+y²=2上的一點，且MH⊥x軸，H為垂足，點N滿足NH=

2

2

MH，記動點N的軌跡為曲線E．
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）若AB是曲線E的長為2的動弦，O為坐標原點，求△AOB面積S的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出動點M和N的坐標，由題意把M的坐標用N的坐標表示，代入圓的方程即可得到答案；
（Ⅱ）由題意設出直線AB的方程，和橢圓方程聯(lián)立后化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系得到A，B兩點的橫坐標的和與差，由弦長公式得到k和m的關(guān)系，由點O到AB的距離公式求出距離，代入面積公式后利用配方法求最值．

解答：（Ⅰ）解：（Ⅰ）設N（x，y），M（x′，y′），則由已知得，x′=x，y′=

2

y
代入x²+y²=2得，x²+2y²=2．
所以曲線E的方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）因為線段AB的長等于橢圓短軸的長，要使三點A、O、B能構(gòu)成三角形，則弦AB不能與x軸垂直，故
可設直線AB的方程為y=kx+m
由

y=kx+m x2 2 +y2=1

，消去y，并整理，得
（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
又△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）＞0
所以，x1+x2=-

4km

1+2k2

，x1x2=

2(m2-1)

1+2k2

．
因為|AB|=2，
所以

(1+k2)(x2-x1)2

=2，即(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=4
所以(1+k2)[(-

4km

1+2k2

)2-

8(m2-1)

1+2k2

]=4，即

1

1+k2

=2(1-m2)，
因為1+k²≥1，所以

1

2

≤m2＜1．　　               
又點O到直線AB的距離h=

|m|

1+k2

，
因為S=

1

2

|AB|•h=h，
所以S²=h²=2m²（1-m²）=-2(m2-

1

2

)2+

1

2

．
所以0＜S2≤

1

2

，即S的最大值為

2

2

．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應用，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系解題，是處理這類問題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點是計算量比較大，要求考生具備較強的運算推理的能力，屬壓軸題．