Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為梯形，AD∥BC，AB=BC=CD=1，DA=2，DP⊥平面ABP，O，M分別是AD，PB的中點．
（Ⅰ）求證：PD∥平面OCM；
（Ⅱ）若AP與平面PBD所成的角為60°，求線段PB的長．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）連接BD交OC與N，連接MN．

因為O為AD的中點，AD=2，

所以OA=OD=1=BC．

又因為AD∥BC，

所以四邊形OBCD為平行四邊形，

所以N為BD的中點，因為M為PB的中點，

所以MN∥PD．

又因為MN平面OCM，PD平面OCM，

所以PD∥平面OCM．

（Ⅱ）由四邊形OBCD為平行四邊形，知OB=CD=1，

所以△AOB為等邊三角形，所以∠A=60°，

所以 ，即AB2+BD2=AD2，即AB⊥BD．

因為DP⊥平面ABP，所以AB⊥PD．

又因為BD∩PD=D，所以AB⊥平面BDP，

所以∠APB為AP與平面PBD所成的角，即∠APB=60°，

所以 ．

【解析】（Ⅰ）連接BD交OC與N，連接MN．證明MN∥PD．然后證明PD∥平面OCM．（Ⅱ）通過計算證明AB⊥BD．AB⊥PD．推出AB⊥平面BDP，說明∠APB為AP與平面PBD所成的角，然后求解即可．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則即可以解答此題．