Question

（08年靜安區質檢文）我們用部分自然數構造如下的數表：用表示第行第個數（為正整數），使；每行中的其余各數分別等于其“肩膀”上的兩個數之和(第一、二行除外，如圖)，設第（為正整數）行中各數之和為.

(1)試寫出，并推測和的關系(無需證明)；

(2)證明數列是等比數列，并求數列的通項公式；

(3)數列中是否存在不同的三項（為正整數）恰好成等差數列？若存在，求出的關系；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

解析：(1)；(或)；

事實上，

 

即；                           

(2)由(1) ，                                          

所以是以為首項，為公比的等比數列，

∴，即

(注：若考慮，且不討論，扣1分)             

 

(3)若數列中存在不同的三項恰好成等差數列，不妨設，

顯然，是遞增數列，則                

即，于是 

由且知，，

∴等式的左邊為偶數，右邊為奇數，不成立，故數列中不存在不同的三項恰好成等差數列.