Question

【題目】已知橢圓以，為左右焦點，且與直線：相切于點.

（1）求橢圓的方程及點的坐標；

（2）若直線：與橢圓交于兩點，且交于點（異于點），求證：線段長，，成等比數列.

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析

【解析】

(1) 設橢圓方程為 ，聯立橢圓和直線的方程可得，由相切條件可得,從而得到橢圓的方程及點的坐標；

(2) 聯立直線與的方程解得點為，由弦長公式，聯立橢圓與直線的方程，消去得，可得，

，從而可證線段長，，成等比數列.

（1）由題意，設橢圓方程為 ，聯立橢圓和直線的方程

消去得

所以 ，

化簡得，由知，，所以橢圓方程為.

將代回原方程組，解得切點的坐標為.

（2）聯立直線與的方程解得點為，

又因為，

由弦長公式 得，所以.

設，，聯立橢圓與直線的方程，

，消去得，

，得

則，

又因為 ，

，

所以

所以線段長，，成等比數列.