Question

【題目】設函數f (x)＝ln x－x＋1.

(1)討論函數f (x)的單調性；

(2)證明當x∈(1，＋∞)時， ；

(3)設c>1，證明當x∈(0，1)時，1＋(c－1)x>cx.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析

【解析】試題分析：（1）求出，在定義域內分別令求得的范圍，可得函數增區間， 求得的范圍，可得函數的減區間； （2）原不等式等價于，運用（1）的單調性可得，設，求出單調性，即可得到成立；（3）設，求出導數，可令，由， 可得，由（1）可得有一解，設為是的最小值點，運用最值，結合不等式的性質，即可得證，

試題解析：(1)解　由f (x)＝ln x－x＋1(x>0)，得f ′(x)＝－1.

令f ′(x)＝0，解得x＝1.

當0<x<1時，f ′(x)>0，f (x)單調遞增.

當x>1時，f ′(x)<0，f (x)單調遞減.

因此f (x)在(0，1)上是增函數，在x∈(1，＋∞)上為減函數.

(2)證明　由(1)知，函數f (x)在x＝1處取得最大值f (1)＝0.

∴當x≠1時，ln x<x－1.

故當x∈(1，＋∞)時，ln x<x－1，ln<－1，即1<<x.

(3)證明　由題設c>1，設g(x)＝1＋(c－1)x－cx，

則g′(x)＝c－1－cxln c.

令g′(x)＝0，解得x0＝.

當x<x0時，g′(x)>0，g(x)單調遞增；

當x>x0時，g′(x)<0，g(x)單調遞減.

由(2)知1<<c，故0<x0<1.

又g(0)＝g(1)＝0，故當0<x<1時，g(x)>0.

∴當x∈(0，1)時，1＋(c－1)x>cx.