Question

（本小題滿分14分）  
已知，，.
（1）當時，求的單調區間；
（2）求在點處的切線與直線及曲線所圍成的封閉圖形的面積；
（3）是否存在實數，使的極大值為3？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）的單調遞增區間為（0，1），單調遞減區間為：，
（2）     （3）不存在實數，使極大值為3

解：（1）當.………1分
          ……………………3分
∴的單調遞增區間為（0，1），單調遞減區間為：，…………4分
（2）切線的斜率為， ∴ 切線方程為.……………6分
所求封閉圖形面積為
.  …………8分
（3）， ………………………9分
令. ………………………………………………………10分
列表如下：

x	(－∞，0)	0	（0，2－a）	2－a	(2－a，+ ∞)
	－	0	+	0	－
	↘	極小	↗	極大	↘

由表可知，.  ………………12分
設，
∴上是增函數，………………………………13分
∴，即，
∴不存在實數，使極大值為3.   …………………14分