Question

【題目】已知二次函數f（x）=x2﹣2x+3 （Ⅰ）若函數 的最小值為3，求實數m的值；
（Ⅱ）若對任意互不相同的x1 ， x2∈（2，4），都有|f（x1）﹣f（x2）|＜k|x1﹣x2|成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】解（Ⅰ）令t=log3x+m，∵ ，∴t∈[m﹣1，m+1]，

從而y=f（t）=t2﹣2t+3=（t﹣1）2+2，t∈[m﹣1，m+1]

當m+1≤1，即m≤0時， ，

解得m=﹣1或m=1（舍去），

當m﹣1＜1＜m+1，即0＜m＜2時，ymin=f（1）=2，不合題意，

當m﹣1≥1，即m≥2時， ，

解得m=3或m=1（舍去），

綜上得，m=﹣1或m=3，

（Ⅱ）不妨設x1＜x2，易知f（x）在（2，4）上是增函數，故f（x1）＜f（x2），

故|f（x1）﹣f（x2）|＜k|x1﹣x2|可化為f（x2）﹣f（x1）＜kx2﹣kx1，

即f（x2）﹣kx2＜f（x1）﹣kx1（*），

令g（x）=f（x）﹣kx，x∈（2，4），即g（x）=x2﹣（2+k）x+3，x∈（2，4），

則（*）式可化為g（x2）＜g（x1），即g（x）在（2，4）上是減函數，

故 ，得k≥6，

故k的取值范圍為[6，+∞）

【解析】（Ⅰ）令t=log3x，（﹣1≤t≤1），則y=（t+m﹣1）2+2，由題意可得最小值只能在端點處取得，分別求得m的值，加以檢驗即可得到所求值；（Ⅱ）判斷f（x）在（2，4）遞增，設x1＞x2，則f（x1）＞f（x2），原不等式即為f（x1）﹣f（x2）＜k（x1﹣x2），即有f（x1）﹣kx1＜f（x2）﹣kx2，由題意可得g（x）=f（x）﹣kx在（2，4）遞減．由g（x）=x2﹣（2+k）x+3，求得對稱軸，由二次函數的單調區間，即可得到所求范圍
【考點精析】掌握二次函數的性質是解答本題的根本，需要知道增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．