Question

已知函數y=f（x）是定義在區間[-

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，

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]上的偶函數，且x∈[0，

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]時，f（x）=-x²-x+5．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若矩形ABCD的頂點A，B在函數y=f（x）的圖象上，頂點C，D在x軸上，求矩形ABCD面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）欲求函數f（x）的解析式，只須求出函數f（x）在x∈[-

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，0]時的解析式即可，利用函數的偶函數性質即可由y軸右側的表達式求出在y軸左側的表達式．最后利用分段函數寫出解析式即可．
（2）設A點在第一象限，坐標為A（t，-t²-t+5），利用對稱性求出B點坐標，進而求出矩形ABCD面積，最后利用導數求出此面積表達式的最大值即可．

解答：解（1）當x∈[-

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，0]時，-x∈[0，

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]．
∴f（-x）=-（-x）²-（-x）+5=-x²+x+5．又∵f（x）是偶函數，
∴f（x）=f（-x）=-x²+x+5．
∴f（x）=

-x2+x+5 x∈[- 3 2 ，0] -x2-x+5 x∈(0 3 2 ].

（2）由題意，不妨設A點在第一象限，
坐標為（t，-t²-t+5），其中t∈（0，

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]．
由圖象對稱性可知B點坐標為（-t，-t²-t+5）．
則S（t）=S_矩形ABCD=2t（-t²-t+5）=-2t³-2t²+10t．
s′（t）=-6t²-4t+10．由s′（t）=0，得t₁=-

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（舍去），t₂=1．
當0＜t＜1時，s′（t）＞0；t＞1時，s′（t）＜0．
∴S（t）在（0，1]上單調遞增，在[1，

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]上單調遞減．
∴當t=1時，矩形ABCD的面積取得極大值6，
且此極大值也是S（t）在t∈（0，

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]上的最大值．
從而當t=1時，矩形ABCD的面積取得最大值6．

點評：本題主要考查了分段函數、函數的最值及其幾何意義及利用導數研究函數的極值，屬于中檔題．