Question

已知函數(shù)f(x) = lg

1-x

1+x

．
（1）求f（x）的定義域；
（2）求該函數(shù)的反函數(shù)f^-1（x）；
（3）判斷f^-1（x）的奇偶性．

Answer 1

分析：（1）由

1-x

1+x

＞0 解得-1＜x＜1，即得函數(shù)的定義域．
（2）由函數(shù)的解析式求出自變量，再把自變量和函數(shù)交換位置，即得反函數(shù)的解析式，注明反函數(shù)的定義域．
（3）由f^-1（-x）=

1-10-x

1+10-x

=

10x-1

1+10x

=-f^-1（x），可得 f^-1（x）是奇函數(shù)．

解答：解：（1）由

1-x

1+x

＞0 解得-1＜x＜1，故函數(shù)的定義域是（-1，1）．
（2）由y= lg

1-x

1+x

，得10y= 

1-x

1+x

（y∈R），所以，x=

1-10y

1+10y

，
所求反函數(shù)為  f^-1（x）=

1-10x

1+10x

（x∈R）．
（3）f^-1（-x）=

1-10-x

1+10-x

=

10x-1

1+10x

=-f^-1（x），所以，f^-1（x）是奇函數(shù)．

點評：本題考查求函數(shù)的定義域，求反函數(shù)，以及函數(shù)的奇偶性的判斷方法，求出反函數(shù)，是解題的難點．